Définition

On appel \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\), si \(I \subset \mathbb{R}\) et :
\[ \forall(x,y) \in I^2, \forall z, x \le z \le y \Leftrightarrow z \in I \]
On dit d'un intervalle qu'il est :

• fermé : \([a,b]\)
• ouvert : \(]a,b[\)
• semi-ouvert : \([a, b[\)
• demi-droite (ouverte et fermée): \([a, +\infty[\) et \(]a, +\infty[\)

De même, on appel voisinage d'un réel \(x\), un intervalle \(V\) tel qu'il existe un intervalle \(O\) ouvert \(O \subset V\) et \(x \in O\)
Dans la pratique, on considère le voisinage de \(x\) un intervalle arbitrairement petit autour de \(x\).

Un intervalle ouvert est un voisinage de tous ses points

Intérieur et adhérence

Soit un intervalle \(I = [a,b[\)
On appel l'intérieur de \(I\) ( \(\displaystyle \mathring{I}\) ) l'ensemble des points de \(I\) tel que \(I\) est un voisinage de ce point. Dans les faits, si \(I\) est fermé, \(\mathring{I}\) est ouvert.
Dans notre exemple : \(\mathring{I} = ]a,b[\)
On appel l'adhérence de \(I\) noté \(\overline I\) l'ensemble des points \(x\) de \(\mathbb{R}\) tel que, pour tout voisinage \(V_x\) de \(x\), \(V \cap I \ne \emptyset\).
Dans les faits, si \(I\) est ouvert, \(\overline I\) est fermé. Dans notre exemple, \(\overline I = [a,b]\).

Un point \(x\) est dans l'adhérence de \(I\) si et seulement si, il existe une suite d'éléments de \(I\) dont la limite est \(x\)

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Toute partie de \(\mathbb{R}\) est ordonée par la relation \(\le\).

• Toute partie non vide de \(\mathbb{R}\) majorée admet une borne supérieure.
• Toute partie non vide de \(\mathbb{R}\) minorée admet une borne inférieure.